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TRIGONOMETRIA
UNIDAD 1
DEFINICION
Etimológicamente significa teis: tres; gonos: angulos; y metron: medida; es decir, “medida de los triangulos”. La trigonometría es la rama de las matematicas que estudia las relaciones entre los lados y angulos de los triangulos y aplica dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos de dicho triangulo.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA
La historia de la trigonometría empieza con los babilonios y egipcios, quienes fueron los primeros en utilizar ángulos de un triangulo y las razones trigonométricas para mediciones en agricultura y la construcción de las pirámides. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados minutos y segundos ( º ‘ ” ). Después paso a Grecia donde destaca Hiparco de Nicea por la construcción de sus tablas de “cuerdas” –precursoras de las tablas de funciones trigonométricas actuales- comenzó con un ángulo de 71º y yendo hasta 180º con incrementos de 71º, la tabla daba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central dado que corta una circunferencia de lado r. no se sabe el valor que Hiparco uso para r. 300 años después Ptolomeo utilizo r = 60 pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los egipcios. En la India habían desarrollado un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de tablas de cuerdas. A finales del siglo VIII los árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado las otras 5 funciones (cos, tan. cot, sec y csc). Sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60 y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
A principios del siglo XVII Jhon Napier invento los logaritmos. A mediados del mismo siglo Isaac Newton invento el cálculo diferencial e integral. Por ultimo en el siglo XVIII Leonhard Euier demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
ANGULOS
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CLASIFICACION DE LOS ANGULOS
POR SU MAGNITUD LOS SE CLASIFICAN EN:
POR SU POSICION SE CLASIFICAN EN:
Ángulos adyacentes : están formados de manera que un lado es común y los otros lados pertenecen a la misma recta, es decir, uno tras otro.
Son ángulos adyacentes: a y b ; b y c ; c y d ; d y a.
Ángulos opuestos por el vértice: ángulos que se encuentran uno enfrente de otro al cruzarse dos rectas en un punto llamado vértice.
Son angulos opuestos por el vértice: 1 y 3;
2 y 4;
Los ángulos 1 y 3; 2 y 4 son iguales.
Ángulos Complementarios. Son dos ó mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 90°.
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AOB + BOC = 90°
33° + 57° = 90°
Ángulos suplementarios: ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 180°.
AOB+BOC+COD = 180°
Ángulos conjugados. Son dos ó mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 360°.
AOB + BOA = 360°
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL (SECANTE).
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ANGULOS EXTERNOS
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ANGULOS INTERNOS
Las paralelas y la secante forman ocho ángulos, de los cuales cuatro son internos por estar situados en el espacio comprendido entre las paralelas; los otro cuatro son externos porque están situados fuera de ese espacio. Internos: c,d,e y f; externos: a,b,g y h.
Ángulos correspondientes: Son ángulos uno interno y otro externo, que están situados uno detrás de otro. Asi:
Son correspondientes: a y e; b y f; c y g; d y h. Por lo tanto se concluye que los ángulos consecutivos son iguales entre sí, es decir; a = e, b = f, c = g y d = h.
Ángulos alternos internos:Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la secante y en distinta paralela.
Son alternos internos los ángulos: c y f; d y e. Los angulos c y f; e y d son iguales.
Ángulos alternos externos: Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.
Son alternos externos los pares de ángulos: a y h; b y g.Estos pares de ángulos también miden los mismo.
Ángulos colaterales: Son dos ángulos internos o dos ángulos externos, situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Cuando los dos ángulos son internos, se les llama colaterales internos; si son externos, se les llama colaterales externos.
Son colaterales internos los pares de ángulos: c y e; d y f.
Son colaterales externos los pares de ángulos: a y g; b y h.
¡OJO! Todo esto les ayuda muchísimo, especialmente cuando se trata de deducir, también les ayuda en los exámenes de tipo olimpiadas. Ahora bien, algunos ejercicios.
En las siguientes figuras hallar los valores de “X” y de “Y”.
a) 
b) 
c) .jpg)
a)bueno, observemos que el ángulo de 36º y el ángulo X son alternos internos (donde imaginariamente AB y DC son las rectas paralelas y DB es la secante), si ese es el caso ya sabemos que X = 36º y como ya tenemos otro ángulo de 72º y recordando que en un triangulo la suma de sus 3 ángulos son 180º entonces Y = 180º - 72º - 36º = 72º y eso es todo.
b) en este caso, se puede ver que el ángulo de 72º y el ángulo Y son iguales, entonces Y = 72º y como X, Y y el ángulo de 34º son suplementarios tenemos que X = 180º - 34º - 72º = 74º.
c) aquí claramente se observa que son ángulos formados por 2 paralelas y una transversal, ahora, el ángulo 121º y Y son alternos internos entonces Y = 121º. Por lógica el ángulo opuesto a Y también mide 121º por lo que sumados nos da como resultado 142º que debemos restar a 360º (porque son ángulos conjugados). Nos debe dar un resultado de 218º que debemos dividir entre 2 para saber el valor de X y S. el resultado: X = 109º.
Y eso es todo, no es para nada difícil, lo único que deben hacer es deducir el tipo de ángulo que es y recordar que ángulo es igual para ir deduciendo poco a poco cada uno.
d) 
SOLUCION:
SOLUCION: ahora les muestro otra forma de solucion, aver si ahora le entienden mejor.
TRIANGULOS
Del griego treis: tres; gonos: ángulos. Es la porción del plano limitado por 3 rectas que forman entre si 3 ángulos; la suma de estos tres ángulos siempre da como resultado 180º (también es muy importante, es de gran ayuda en resolución de múltiples ejercicios). La suma de 2 de sus lados debe ser mayor que el tercer lado por lo que no es posible formar un triangulo de medidas 1, 2 y 3.
CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS
Por la magnitud de sus lados se pueden clasificar en:
- EQUILATERO: sus tres lados son iguales y también sus ángulos.
- ISOSCELES: del griego iso: igual; skelos: piernas; “con 2 piernas iguales” (no sean morbosos, se refieren a piernas de triángulo, pero no del triangulito que están pensando). Tiene 2 lados iguales y 1 desigual.
- ESCALENO: todos sus lados son diferentes.
Por la amplitud de sus ángulos se clasifican en:
- TRIANGULO RECTANGULO: tiene un ángulo interior recto. A los 2 lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al otro hipotenusa.
- TRIANGULO OBTUSANGULO: 1 de sus lados es obtuso.
- ACUTANGULO: sus 3 ángulos son menores a 90º.
- OBLICUANGULO: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, por eso los obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
TRIANGULOS CONGRUENTES
2 triángulos son congruentes si poseen la misma forma y tamaño. Son comgruentes si:
a) sus 3 lados son iguales (LLL)
b) 2 lados y el angulo formado por estos 2 lados son iguales a los correspondientes del otro triangulo (LAL).
c) 2 angulos y el lado comprendido entre ellos son iguales con los correspondientes del otro triangulo (ALA)
TRIANGULOS SEMEJANTES
2 triángulos son semejantes cuando sus angulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales. Los triángulos son semejantes si:
a)tienen sus 3 lados correspondientes (AAA)
b)tienen un angulo igual y los 2 lados que lo forman son proporcionales (LAL).
c)si los lados de uno son proporcionales a los lados correspondientes del otro (LLL).
LINEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRINGULO
Las líneas o rectas notables en el triangulo son: directriz, bisectriz mediana y altura. Los puntos notables son incentro, ortocentro baricentro y circuncentro.
BISECTRIZ: es el segmento o rayo que biseca un ángulo, es decir lo divide en 2 exactamente iguales. Para trazarla se hace lo siguiente:
1.- apoyando el punto fijo del compás en A, traza un arco en ambos rayos (creando los puntos M y N).
2.- con la misma abertura, apoyándote en M traza un arco al interior del angulo.
3.- de la misma forma pero ahora apoyado en N traza un arco de manera que intersecte (corte) al arco que ya hiciste. A este punto de intersección llamaremos P
4.- traza una línea que vaya desde el punto A y pase por el P, y esta línea es tu BISECTRIZ.
5.-El ángulo MAP = PAN.
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MEDIATRIZ: es la línea que biseca perpendicularmente a un lado de un triangulo.
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MEDIANA: es el segmento que va desde el vértice al punto medio del lado opuesto.
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ALTURA: segmento que va desde el vértice hasta el lado opuesto y perpendicular a este. Se traza así:
1.- apoya el punto fijo del compás en el vértice (E) opuesto al lado (CD) al cual le vas trazar la altura y traza 2 arcos sobre el segmento, denota esos como X y Y.
2.- con la misma abertura apoya el punto fijo del compás en X y traza un arco en el lado contrario del vértice (E).
3.-haz lo mismo pero apoyado en Y. al punto de intersección lo denotaras Z.
4.- traza una recta que pase por E y por Z.
5.- al punto de intersección de la recta EZ se denotara W y el segmento EW es la altura.
ALTURA DE TRIANGULOS OBTUSOS: en el caso de los triangulos obtusos las alturas están afuera del triangulo. En este caso la estrategia consiste en prolongar los lados para que nos permita trazar la altura, así: (la altura de este triangulo comienza en el punto A y termina en la linea punteada, o del punto B a la linea punteada)
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