SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de la intersección de un plano con un cono circular recto. La intersección del cono con un plano perpendicular a su eje es la circunferencia, si el plano se inclina ligeramente se obtendrá una elipse, si el plano interseca ambas mitades o ramas del cono se formara una hipérbola y si el plano es paralelo a una recta sobre el cono la curva resultante es una parábola, estudiaremos más a fondo sobre esta curva.
En ocasiones, la geometría analítica se considera como el estudio de las 3 grandes curvas: parábola, elipse e hipérbola. Esto se debe a Menecmo (siglo IV a.C.) a quien se le atribuye la invención de dichas curvas. Isaac Newton describió el tiro parabolico, llamado asi porque en este movimiento se describe una parábola.

Parábola: se define como el conjunto de los puntos que están a la misma distancia de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo del plano llamado foco.
Los elementos fundamentales de la parábola son:
-vértice: es el punto medio del segmento AF.
-eje de la parábola (EE’): es la recta que pasa por el foco y el vértice. La posición del eje determina la posición de la parábola; hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.
-directriz (DD’): es la recta perpendicular al eje de la parábola y la distancia existente entre esta y el vértice es igual quela distancia entre el vértice del foco, a esta distancia se le conoce como parámetro (p). 
-lado recto (LR): es la recta que une 2 puntos de la parábola, pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. La medida del lado recto es lo equivalente 4 parámetros: LR = |4p|
-cuerda (CC’): es el segmento de 2 puntos cualesquiera de la parábola.
-cuerda focal (BB): es la cuerda que pasa por el foco.
-radio focal: distancia que hay entre el foco y cualquier punto de la parábola.
-la concavidad es la dirección a donde se abre la parábola, lo remarcaré más adelante.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las ecuaciones de 2° grado generan curvas, la parábola se forma por la ecuación de 2° grado:
Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

La función cuadrática se representa asi: f (x) = ax² + bx + c, es común que en vez de f (x) lo encuentren como y, pero para el caso es lo mismo.

Si su eje coincide con el eje Y son cóncavas hacia arriba o hacia abajo:
Ecuación ordinaria: x² = 4py; su foco esta en F ( 0,p) su directriz D y = - p    la parábola queda asi:

 Ecuacion: x² = -4py  su foco esta en F (0,-p) su directriz D y = p  la parábola queda asi:

Si su eje coincide con el eje X su concavidad es hacia la derecha o hacia la izquierda.
Ecuación: y² = 4px  foco en F (p,0) directriz D x = -p  la parábola queda asi:

Ecuación: y² = -4px foco en F (-p,0) directriz D x = p la parábola queda asi:

Para cualquiera su lado recto se calcula LR = |4p|

ECUACIONES CANONICAS PARA PARABOLAS CON VERTICE EN (h,k)

Si su eje es paralelo al eje Y entonces:
Ecuación ordinaria: (x-h)² = 4p (y-k)  su foco esta en F (h, k+p) su eje simétrico x = h su directriz D y = k-p la curva abre hacia arriba pues p es positivo:

Ecuación: (x-h)² = -4p (y-k) foco en F (h, k-p) su eje x = h  su directriz D y = k+p la curva abre hacia abajo puesto que p es negativo:

Si su eje es paralelo al eje X:
Ecuación: (y-k)² = 4p (x-h) foco en F (h+p, k) su eje y = k su directriz D x = h-p abre hacia la derecha porque p es positivo:

Ecuación: (y-k)² = -4p (x-h) foco F (h-p, k) eje y = k directriz D x = h+p la parábola abre hacia la izquierda porque p es negativo:

UNIDAD 3
LA ELIPSE

 

DEFINICIÓN, CONSTRUCCIÓN Y ELEMENTOS DE LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a los focos es constante. Los elementos de la elipse son:
Puntos:
-vértices V y V’
-focos F y F’
-centro C
Ejes:
Eje mayor (AA’): diámetro mayor o eje focal, se representa por 2a.
Eje menor (BB’): diámetro menor, se representa por 2b.
Distancia focal (FF’): se representa por 2c.
Lado recto. Cuerda que pasa por uno de sus focos, perpendicular al eje mayor, se calcula con LR = 2b²/a
Semi-ejes:
-longitud del semi-eje focal CF’ = CF = c
-semi-eje mayor CV’ = CV = a
-semi-eje menor CB’ = CB = b
Excentricidad: razón de la semidistancia focal (c) al semi-eje mayor (a), se calcula con e= c/a, e < 1
Vértices V y V’         lado recto PQ                eje focal FF’ = 2c
Focos F y F’              eje mayor VV’ = 2a
Centro C                  eje menor BB’ = 2b
 

METODO DEL JARDINERO PARA CONSTRUIR UNA ELIPSE
1.- trazar un plano cartesiano.
2.- identificar el eje de las abscisas (x) y de las ordenadas (y).
3.- en el eje de las ordenadas se marcaran 2 puntos cualesquiera (considerando la misma distancia para los positivos y negativos.
4.- utilizando un cordon mayor a 10 cm, el cual estará sujetado en uno de sus extremos un lápiz y el otro servirá de apoyo en el punto asignado en el eje Y (primero los positivos y luego los negativos).
5.- se trazara el arco del eje x positivo al eje y positivo y de aquí al eje x negativo.
6.- de la misma manera se traza para el lado opuesto, obteniendo la elipse.
                                                         

MÉTODO DEL ESCANTILLÓN
1.- trazar un plano cartesiano en donde el eje de las abscisas (x) será el eje mayor.
2.- el eje de las ordenadas (y) será el eje menor y el punto de intersección de ambos ejes será el centro de la elipse.
3.- cortar una tira de papel de 20 cm de largo por 4 cm de ancho.
4.- marcar en la tira de papel el eje mayor y el eje menor, partiendo por el centro. Colocando un numero 3 para el eje menor y un 2 para el eje mayor. En 1 se marcara colocando el 2 en el centro del eje menor al centro de la elipse.
5.- para trazar la elipse se colocara la tira de papel de tal forma que el punto 2 coincida con el eje x positivo y el punto 3 coincida con el eje y negativo.
6.- marcando en el punto 1 la distancia obtenida, girando la tira de papel del centro de la elipse C al punto B.
7.- repetir el mismo procedimiento para los puntos C a V invirtiendo la tira de papel.
                      

ECUACIÓN GENERAL Y ORDINARIA
La ecuación general de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre algún eje coordenado es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0. Donde A y C tienen el mismo signo, D y E = 0 y F es una constante.
La ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje x es:   Gráficamente la elipse queda asi:

Sus vértices están en: V (a,0) y V’ ( -a,0)
Sus focos están en: F (c,0) y F’ (-c,0)
Los extremos del eje menor están en: B (0,b) y B’ (0,-b)
Cuando la elipse tiene su centro en el origen pero su eje focal esta sobre el eje y su ecuación es:
Gráficamente la elipse esta así:

Las coordenadas de sus vértices son: V (0,a) y V’ (0,-a)
Sus focos están en: F (0,c) y F’ (0,-c)
Los extremos del eje menor están en B (b,0) y B’ (-b,0)
Ejercicios:
1.- deduce la ecuación y traza la gráfica de la elipse cuyos vértices están en V (0,8) y V’ (0,-8) y sus focos en F (0,5) y F’ (0,-5). Además deberás encontrar sus elementos faltantes.
Solución: para hacer esto mas facil primero traza un plano cartesiano y localiza en el los puntos que tienes de esta manera:

Con esto se puede observar que la elipse tiene su eje focal sobre el eje y entonces su ecuación es de la forma  Ahora bien, como sus vértices están en V (0,8) y V’ (0,-8), lo abreviare como V (0,+-8) = V (0,a); a = 8, a² = 64, como F (0,+-5) = (0,c); c = 5, c² = 25. Para encontrar a b usamos teorema de pitagoras: b² = a² – c² = b = √8² – 5² = √64 – 25 = √39 = 6.24. con esto ya podemos localizar los extremos del eje menor B (+-b,0) = (+-6.24,0). Su lado recto LR = 2b²/a = 2(39)/5 = 78/5= 15.6; su excentricidad e = c/a = 5/8 =0.625. eje focal FF’ = 2c = 2(5) = 10; eje mayor VV’ = 2a = 2(8) =16; eje menor BB’ = 2b = 2(6.24) = 12.48. por ultimo terminemos de deducir su ecuación:

Por último el lugar geométrico quedaría así:

2.- encuentra los elementos de la elipse a partir de la grafica.